SUJET
Exercice 1:
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35% desp lants proviennent de l'horticulteur H1, 25% de l'horticulteur H2 et le reste de l'horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres: des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l'horticulteur H1 comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H2 n'en comporte que 50%et celle de l'horticulteur H3seulement 30%.
1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les évènements suivants:
- H1: "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H1",
- H2: "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H2"
- H3: "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H3"
- C: "l'arbre choisi est un conifère"
- F: "l'arbre choisi est un arbre feuillu"
a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
b. Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H3.
c. Justifier que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,525.
d. L'arbre choisi est un conifère.Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H1? On arrondira à10-3.
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères? On arrondira à 10-3.
c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? On arrondira à 10-3.
EXERCICE 2
1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f'(1).
b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f'(x) =(b -a)-b l n x / x 2 .
c. En déduire les réels a et b.
2. a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0 + ∞ [f' (x) a le même signe que -lnx.
b. Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞ . On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif, f (x) = 2 /x +2 lnx / x.
c. En déduire le tableau de variations de la fonction f .
3. a. Démontrer que l'équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur l'intervalle ]0, 1e].
b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel β de l'intervalle ]1 +∞[ tel que n< β<n+1. Déterminer l'entier n tel que n< β<n+1
4. On donne l'algorithme ci-dessous.Variables
b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme?
c. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de β d'amplitude 10-1.
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
a. Justifier que cela revient à démontrer que ∫11/e f(x)dx=1
b. En remarquant que l'expression de f (x) peut s'écrire 2/x + 2 x 1/x x lnx, terminer la démonstration.
EXERCICE 3
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1. Proposition 1: Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie l'égalité |z-i| = |z +1| est une droite.
2. Proposition 2: Le nombre complexe (1+ i√34 est un nombre réel.
3. Soit ABCDEFGH un cube.
Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.
EXERCICE 5
Soit la suite numérique (un) définie sur N par:
u0=2 et pour tout entier naturel n, un+1=2/3un+1/3+1
1. a. Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10-2 près.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n,
un≤ n+3
b. Démontrer que pour tout entier naturel n,
un+1-un= 1/3 (n+3-un)
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (vn) la suite définie sur N par vn = un -n.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2/3
b. En déduire que pour tout entier naturel n,
un=2 (2/3)n + n
c. Déterminer la limite de la suite (un).
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
a. Exprimer Sn en fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (Tn).
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu